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【計算してみた】大きさではないことの証明

こんばんは、作者です。早速いきましょう。

 

カップ数を表す数列の定義

あるサイトによれば、最も控えめなカップ数はAAA[カップ]、最大がI[カップ]という風になっていました。

そこで今回は、カップサイズに数字を割り付けていくことを考えます。AAA[カップ]を起点とし、カップがワンサイズ大きくなると数式上で1が加えられるという風にルールを定義します。

もう少し数学っぽく言えば、AAAをn=1、AAをn=2、…とする項差1の等差数列A(n)を考えます。

A(1)=AAA
A(2)=AAA+1=AA…(1)
A(3)=AA+1=A…(2)
A(4)=A+1=B
A(5)=B+1=C(以下、Iまで続く)

ではここから、Aの値を求めていきます。

 

Aの算出

式(2)より、以下の式が得られます。

AA=Aー1

これを(1)の両辺に代入し、以下の等式を得ます。

A(A-1)+1=Aー1
⇔AAー2A+2=0

この二次方程式は実数解を持ちません。虚数解は以下の1組の複素数になります。

A=1±i

(おそらく、このどちらかが左でどちらかが右に該当する)

さて、これに基づいて初項A(1)を求めると次のようになります。

A(1)=AAA=AAー1=2Aー3=ー1±2i

よってカップ数を定義する数列の一般項A(n)は次のように表されます。

A(n)=−1±2i+nー1=(nー2)±2i

これにより、各カップ数には以下の複素数が割り当てられることがわかります。

A(1)=AAA=ー1±2i
A(2)=AA=0±2i
A(3)=A=1±2i
A(4)=B=2±2i
A(5)=C=3±2i(以下、Iまで続く)

 

議論

nは自然数であるため、どのカップ数においても虚数部分が残り続けることがわかります。つまり、どのカップ複素数で表現されます

複素数には大小が存在しません。したがって、大きさを比較することはできず、大きさの比較に関する議論は無意味ということになります。

 

Q.E.D

 

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それでは!